BAB
I
PENDAHULUAN
A.
LATAR BELAKANG
Matematika
merupakan ilmu pengetahuan dasar yang dibutuhkan oleh masyarakat
dalam kehidupan sehari-hari baik secara langsung maupun tidak langsung. Matematika juga merupakan ilmu
yang tidak terlepas dari agama. Pandangan
ini dengan jelas dapat diketahui kebenarannya dari ayat-ayat Al-Qur’an yang
berkaitan dengan matematika, di antaranya adalah ayat-ayat yang berbicara mengenai bilangan, operasi
bilangan, dan adanya perhitungan.
Hal
tersebut dapat dilihat di dalam surat Maryam ayat 94 sebagai berikut:
“Sesungguhnya
Allah telah menentukan jumlah mereka dan menghitung mereka dengan hitungan yang
teliti.”
Selain itu, Allah juga berfirman dalam
surat Al-Qamar ayat 49 sebagai berikut:
“Sesungguhnya Kami menciptakan segala sesuatu
menurut ukuran.”
Berbagai hal yang terdapat di alam
semesta ini telah ada ukurannya, hitungannya, dan teoremanya. Seseorang yang
ahli matematika tidak membuat suatu teorema. Mereka hanya menemukan teorema
tersebut. Oleh karena itu, apabila di dalam kehidupan ditemukan suatu
permasalahan, manusia harus selalu berusaha untuk menemukan solusinya.
Pembuktian kebenaran suatu teorema harus
selalu ada pada saat menemukan teorema tersebut. Apabila kebenaran teorema
tersebut belum jelas, maka kita tidak boleh mengikutinya.
Untuk membuktikan kebenaran sesuatu
(pernyataan atau berita), maka diperlukan pengetahuan matematika. Salah satu
cabang dari pengetahuan matematika adalah aljabar. Aljabar (berasal dari bahasa
Arab “al-jabr” yang berarti “pertemuan”, atau “hubungan”)
merupakan salah satu cabang dari matematika yang dapat dicirikan sebagai
generalisasi dari aritmatika. Aljabar linear mempelajari sistem persamaan
linear dan solusinya, vektor, dan transformasi linear. Pembahasan mengenai
matriks dan operasinya juga berkaitan erat dengan aljabar linear.
2.1.
Aljabar Matriks
2.1.1.
Definisi Matriks
Di dalam kehidupan, sering dijumpai
masalah-masalah yang membutuhkan perlakuan khusus. Hal tersebut dimaksudkan
untuk keperluan penyajian dan pencarian metode penyelesaiannya. Salah satu
bentuk penyajiannya adalah dengan menyusun item-item dalam bentuk baris dan
kolom, yang biasanya disebut dengan matriks. Penggunaan matriks telah banyak
dijumpai dalam kehidupan sehari-hari, disadari ataupun tidak, penggunaan matriks
tersebut telah banyak dimanfaatkan dalam menyelesaikan masalah-masalah yang
berhubungan dengan kehidupan, misalnya pada aplikasi perbankan dan juga di
dalam dunia olahraga yang digunakan sebagai penentuan klasemen suatu
pertandingan. Suatu matriks (matrix) adalah jajaran empat persegi
panjang dari bilangan-bilangan. Bilangan-bilangan dalam jajaran tersebut
disebut entri dari matriks.
Sehingga matriks merupakan suatu susunan
yang berbentuk persegi panjang yang terdiri dari bilangan-bilangan. Baris sebuah
matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang mendatar (arah horizontal) dalam
matriks. Kolom sebuah matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang tegak (arah
vertikal) dalam matriks.
Suatu matriks dapat ditulis dalam bentuk
( ) atau [ ]. Matriks dilambangkan dengan huruf besar, misalnya A, B, dan
seterusnya. Entri pada matriks dilambangkan dengan huruf kecil dan berindeks,
misalnya amnyang
merupakan entri pada baris ke- m dan kolom ke- n. Bentuk umum
dari matriks adalah:
A=
Dimana m menunjukkan baris dan n
menunjukkan kolom. Ukuran matriks atau biasa disebut dengan ordo matriks
menyatakan jumlah baris dan jumlah kolom yang terdapat di dalam matriks
tersebut. Apabila suatu matriks memiliki jumlah baris sebanyak (m) dan
jumlah kolom (n), maka disebut matriks berordo m x n. Dari
definisi tentang matriks di atas, maka contoh dari matriks adalah sebagai
berikut:
a.
Matriks berordo 2 x 1 : A= [5 3]
Entri
matriks A adalah: a11 = 5 dan
a21 = 3.
b.
Matriks berordo 2 x 2: B=
Entri
matriks B adalah: b11 = 1,
b12 = 4,
b21 = 4,
dan b22 = 3.
c.
Matriks berordo 3 x 3 : C =
Entri
matriks C adalah: c11 = 3, c12 = 2,
c13 = 5,
c21 = 4, c22 = 4 , c23 = 4,c31 = 6, c32 = 8, dan c33 = 7.
2.1.2.
Kesamaan Matriks
Dua matriks adalah sama (equal)
jika keduanya memiliki ukuran yang sama dan entri-entri yang bersesuaian adalah
sama. (Anton dan Rorres, 2004: 28)
Di
dalam notasi matriks, apabila A = [aij] dan B = [bij]
memiliki ukuran yang sama, maka A = B jika dan hanya jika (A)ij
= (B)ij, atau aij = bij untuk semua i dan j.
Contoh:
a.
A=
B=
Dua matriks di atas memiliki ukuran dan
entri-entri yang bersesuaian sama, sehingga A = B
b.
A =
B= [
]
Apabila nilai x = 6, maka A = B,
tetapi untuk semua nilai x yang lain, matriks A dan
B adalah tidak sama karena tidak semua entri-entri yang bersesuaian adalah sama.
2.1.3.
Perkalian Skalar Matriks
Jika A adalah matriks sebarang
dan c adalah skalar sebarang, maka hasil kali-nya (product)
cA adalah matriks yang diperoleh dari perkalian setiap entri pada
matriks A pada bilangan c. Matriks cA disebut sebagai
kelipatan skalar (scalar multiple) dari A. Di dalam notasi
matriks, apabila A =[aij],
maka (c A)ij =c (A)ij=caij
Contoh:
A =
maka
4A= =
=
2.1.4.
Perkalian Matriks
Jika A adalah matriks m x r
dan B adalah matriks r x n maka hasil kali (product)
AB adalah matriks m x n yang entri-entrinya ditentukan
sebagai berikut. Untuk mencari entri pada baris i dan kolom j dari
AB, pisahkanlah baris i darimatriks A dan kolom j dari
matriks B. Kalikan entri-entri
yang bersesuaian dari baris dan kolom tersebut dan kemudian jumlahkan hasil
yang diperoleh.
Dengan kata lain, perkalian matriks
dapat didefinisikan sebagai berikut:
Misalkan A = [amr] dan
B = [bnr] merupakan
matriks-matriks yang sedemikian rupa sehingga jumlah kolom dari A sama
dengan jumlah baris dari B. Maka hasil kali AB adalah matriks m
x n yang mana entri ij diperoleh dengan mengalikan baris ke-i
dari A dengan kolom ke-j dari B.
=
di
mana :cij=ai1b1j+ai2b2j+....+airbrj=
Berdasarkan definisi dari perkalian
matriks tersebut, maka dua matriks dapat dikalikan apabila jumlah kolom matriks
pertama sama dengan jumlah baris dari matriks kedua. Sehingga dapat dituliskan
sebagai berikut:
Amxr
X Brxn= Cmxn
Misal A, B, dan C adalah
matriks yang dapat dikalikan, maka sifat-sifat dari perkalian matriks adalah:
1.
Sifat distributif
a.
A (B + C) = AB + AC
b.
(A + B) C = AB + BC
2.
Sifat asosiatif
A
(BC) = (AB) C
3.
AB ≠ BA
Perkalian matriks tidak memenuhi sifat
komutatif. Pada bilangan real berlaku ab = ba. Sedangkan pada
matriks, AB tidak selalu sama dengan BA. Hal tersebut dapat
disebabkan pada kasus sebagai berikut:
a.
Hasil dari AB dapat didefinisikan, akan tetapi hasil dari BA tidak
dapat didefinisikan. Sebagai contoh, apabila A adalah matriks yang
memiliki ordo 2 x 3, dan B adalah matriks yang memiliki ordo 3 x 4.
b.
Hasil dari AB dan BA dapat didefinisikan, akan tetapi
masing-masing entri yang bersesuaian dari matriks tersebut adalah berbeda.
Sebagai contoh:
A=
B=
sehingga
AB=
=
Dari
hasil tersebut, dapat disimpulkan bahwa AB ≠ BA.
4.
Perkalian dengan identitas
IA
= AI = A.
2.1.5.
Transpos Matriks
Jika A adalah matriks m x n,
maka transpos dari A (transpose of A), dinyatakan dengan AT,
didefinisikan sebagai matriks n x m yang didapatkan dengan
mempertukarkan baris-baris dan kolom-kolom dari A; sehingga kolompertama
dari AT
adalah baris pertama dari A, kolom kedua dari
AT adalah
baris kedua dari A, dan seterusnya.
Dari definisi tersebut, dapat dikatakan
bahwa matriks transpos adalah suatu matriks yang diperoleh dari perpindahan
baris pada matriks A yang berubahmenjadi
kolom pada matriks AT,
sehingga dapat dituliskan sebagai:
Am×n_ = (aij)→ AT= (aji)
Contoh:
A=
sehingga _T=
Transpos dari sebuah hasilkali adalah
hasil kali dari transpos-transposnya, tetapi dalam urutan terbalik. (Lipschutz
dan Lipson, 2004: 14). Yaitu sebagai berikut:
(AB)T=B
TAT
Apabila
perkalian matriks A dan B memiliki sifat komutatif, maka
(AB)T=(BA)T
↔B
TAT=AT BT
sehingga
berlaku:
(AB)T=ATBT
(BA)T=BTAT
2.1.6.
Matriks Bujursangkar
Matriks bujursangkar adalah matriks
dengan jumlah baris dan kolom yang sama.
Matriks bujursangkar atau dapat juga dinamakan matriks persegi yang
memiliki ordo n, biasanya disebut matriks bujursangkar-n.
Entri a11,
a22,
a33,...,
ann berada
pada diagonal utama dari matriks A. Matriks bujursangkar dibedakan menjadi
matriks identitas, matriks diagonal, matriks segitiga, dan matriks simetrik.
Contoh:
1.
matriks bujur sangkar berorde 2.
2.
matriks bujur sangkar dengan orde 3.
2.1.7.
Matriks Segitiga
Matriks bujursangkar yang semua entri di
atas diagonal utamanya adalah nol disebut matriks segitiga bawah (lower
triangular) dan matriks bujursangkar yang semua entri di bawah diagonal
utamanya adalah nol disebut matriks segitiga atas (upper
triangular). Suatu matriks, baik segitiga bawah atau segitiga atas disebut
matriks segitiga (triangular). Berdasarkan definisi tersebut, transpos
dari matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga atas. Demikian juga
sebaliknya, transpos dari matriks segitiga atas adalah matriks segitiga bawah.
Contoh
matriks segitiga atas :
1.
matrik segitiga atas dengan orde 2.
2.
matriks segitiga dengan orde 3.
3.
matriks segitiga dengan orde 4.
Contoh matriks segitiga
bawah:
1.
matriks segitiga bawah dengan orde 2
2.
matriks segitiga bawah dengan orde 3.
3.
matrikssegitiga bawah dengan orde 4.
2.1.8.
Matriks Diagonal
Suatu matriks bujursangkar yang semua entrinya
yang tidak terletak pada diagonal utama adalah nol disebut matriks diagonal (diagonal
matrix). Bentuk umum dari matriks
diagonal A, dengan ordo n dapat ditulis sebagai:
A=
Contoh:
1. A=
matriks
A adalah matriks diagoonal berordo 2 x 2.
2. B=
matriks B adalah matriks diagonal berordo 3x3.
3. C=
matriks C adalah matriks diagonal berordo 4x4.
2.1.9.
Matriks Identitas
Yang menjadi perhatian khusus adalah
matriks bujursangkar dengan bilangan 1 pada diagonal utamanya dan 0 pada
entri-entri lainnya, seperti :
,
,
dan seterusnya.
Matriks dengan bentuk seperti ini
disebut matriks identitas (identity matrix) dan dinyatakan dengan
I. Jika ukurannya penting maka akan ditulis sebagai In
untuk matriks identitas n x n. Di
dalam perkalian matriks, operasi dengan identitas mempunyai sifat
AI = IA = A
Sebagai
contoh:
A=
I=
maka
AI=
=
IA
=
=
2.1.10.
Matriks Singular dan Non Singular
Matriks singular adalah matriks bujur
sangkar yang tidak mempunyai invers (berarti determinannya = 0). Sedangkan
matriks non singular adalah matriks bujur sangkar yang mempunyai invers
(berarti determinannya ≠ 0). Contoh dari matriks singular adalah:
1. A=
,
A adalah matriks singular berordo 2 karena A-1=
2. B=
,
B adalah matriks singular berordo 3 karena B-1=
Contoh
matiks non singular
1. A=
2. B=
2.1.11.
Determinan
Permutasi dari himpunan bilangan bulat
atau integer {1, 2, ..., n} adalah susunan integer-integer ini menurut suatu
aturan tanpa adanya penghilangan atau pengulangan. Sebagai contoh, pada himpunan
bilangan bulat {1, 2, 3} memiliki 6 permutasi. Antara lain (1, 2, 3), (1, 3,
2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), dan (3, 2, 1). Inversi dapat terjadi di
dalam suatu permutasi apabila bilangan bulat yang lebih besar mendahului yang
lebih kecil. Misalnya di dalam permutasi (2, 4, 1, 3), maka
banyaknya
inversi adalah 1 + 2 + 0 = 3. Suatu permutasi dikatakan genap (even)
jika total banyaknya inversi adalah integer genap dan dikatakan ganjil (odd)
jika total banyaknya inversi adalah integer ganjil.
Hasilkali elementer dari suatu matriks
bujursangkar dengan orde n merupakan hasilkali dari n entri dari
matriks tersebut, yang tidak satu pun berasaldari baris atau kolom yang sama.
Apabila A merupakan matriks bujursangkardengan orde n, maka
matriks A memiliki hasilkali elementer sebanyak n!. Bentuk dari
hasilkali elementer tersebut adalah a1j1,
a2j2, .....anjn dimana (j1,j2,...jn)
adalah permutasi dari himpunan {1, 2, ..., n}.
Sedangkan hasilkali elementer bertanda dari A adalah dari
hasilkali elementer tersebut adalah a1j1,
a2j2, .....anjn
dikalikan dengan + 1 untuk permutasi genap dan – 1
untuk permutasi ganjil.
Misalkan
A adalah suatu matriks bujursangkar. Fungsi determinan (determinant
function) dinotasikan dengan det dan kita mendefinisikan det(A) sebagai
jumlah dari semua hasilkali elementer bertanda dari A. Angka det(A)
disebut determinan dari A (determinant of A).
Misalkan
A =
maka determinan dari A adalah a11a22-a12a21
Sedangkan untuk B =
maka determinan dari B adalah (a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32)-(a12a21a33+a11a23a32+a13a22a31)
2.1.12.
Invers Matriks ordo 2
Diberikan matriks bujursangkar A.
Jika terdapat matriks bujursangkar A-1yang
memenuhi hubungan
A-1.A=A.A-1=I
Maka A-1
disebut invers kebalikan dari A. Jika A adalah
matriks bujursangkar, dan jika terdapat matriks B yang ukurannya sama
sedemikian rupa sehingga AB = BA = I, maka A disebut
dapat dibalik (invertible) dan B disebut sebagai invers (inverse)
dari A. Jika matriks B tidak dapat didefinisikan, maka A dinyatakan
sebagai matriks singular. Sebelum menentukan invers, maka harus dicari terlebih
dahulu nilai determinan dari matriks tersebut. Misalkan A merupakan
matriks yang mempunyai ordo 2. Determinan dari matriks A adalah selisih
antara perkalian entri-entri pada diagonal utama dengan perkalian entri-entri
pada diagonal sekunder. Determinan dari matriks A dinotasikan dengan det A atau
|A|. Sedangkan nilai dari
determinan suatu matriks adalah bilangan real.
Misalkan A=
Sehingga det A=│A│=
=ad-bc
Dari definisi tentang invers matriks, maka
selanjutnya dapat ditentukan rumus dari invers matriks yang berordo 2.
Misalkan A=
dan B=
Karena AB =
I, maka B = A-1.
=
=
Berdasarkan
kesamaan dua matriks, diperoleh:
ap + br= 1 ....(1) aq + bs = 0 ....(3)
cp + dr= 0 ....(2)
cq + ds= 1 ....(4)
Dengan
menyelesaikan sistem persamaan linear tersebut, maka diperoleh:
p =
q =
r
=
s
=
dengan demikian
B=A-1 =
=
=
Jadi, B = A-1 =
dengan
≠
0.
Karena
det A, maka A-1 =
.
Eliminasi Gaus- Jordan
Salah satu metode untuk
memperoleh solusi penyelesaian sistem perssamaan linear adalah dengn melakukan
operasi baris elementer yaitu dengan metode eliminasi Gaus – Jordan. Caranya
yaitu :
1. Kalikanlah
suatu persamaan (baris) dengan konstanta tak nol.
2. Tukarkanlah
dua persamaan (baris).
3. Tambahkanlah
kelipatan satu persamaan(baris) dengan persamaan(baris) lain.
Contoh:
Carilah nilai-nilai
variabel X, Y, Z untuk sistem persamaan berikut :
X+2Y+3Z=1
2X+5Y+3Z=6
X+8Z=-6
Persamaan tersebu dapat ditulis dalam
bentuk matriks sbb:
=
Matriks diperbesar (A:b) yaitu x=b1,
y=b2, z =b3
Maka didapat X=2, Y=1 dan Z=-1