Saturday 2 March 2013

Contoh Makalah Aljabar Linear



BAB I
PENDAHULUAN
A.    LATAR BELAKANG
Matematika merupakan ilmu pengetahuan dasar yang dibutuhkan oleh masyarakat dalam kehidupan sehari-hari baik secara langsung maupun tidak langsung. Matematika juga merupakan ilmu yang tidak terlepas dari agama. Pandangan ini dengan jelas dapat diketahui kebenarannya dari ayat-ayat Al-Qur’an yang berkaitan dengan matematika, di antaranya adalah ayat-ayat yang berbicara mengenai bilangan, operasi bilangan, dan adanya perhitungan.
Hal tersebut dapat dilihat di dalam surat Maryam ayat 94 sebagai berikut:

Sesungguhnya Allah telah menentukan jumlah mereka dan menghitung mereka dengan hitungan yang teliti.”

Selain itu, Allah juga berfirman dalam surat Al-Qamar ayat 49 sebagai berikut:

 “Sesungguhnya Kami menciptakan segala sesuatu menurut ukuran.”

Berbagai hal yang terdapat di alam semesta ini telah ada ukurannya, hitungannya, dan teoremanya. Seseorang yang ahli matematika tidak membuat suatu teorema. Mereka hanya menemukan teorema tersebut. Oleh karena itu, apabila di dalam kehidupan ditemukan suatu permasalahan, manusia harus selalu berusaha untuk menemukan solusinya.
Pembuktian kebenaran suatu teorema harus selalu ada pada saat menemukan teorema tersebut. Apabila kebenaran teorema tersebut belum jelas, maka kita tidak boleh mengikutinya.
Untuk membuktikan kebenaran sesuatu (pernyataan atau berita), maka diperlukan pengetahuan matematika. Salah satu cabang dari pengetahuan matematika adalah aljabar. Aljabar (berasal dari bahasa Arab “al-jabr” yang berarti “pertemuan”, atau “hubungan”) merupakan salah satu cabang dari matematika yang dapat dicirikan sebagai generalisasi dari aritmatika. Aljabar linear mempelajari sistem persamaan linear dan solusinya, vektor, dan transformasi linear. Pembahasan mengenai matriks dan operasinya juga berkaitan erat dengan aljabar linear.

2.1. Aljabar Matriks
2.1.1. Definisi Matriks
Di dalam kehidupan, sering dijumpai masalah-masalah yang membutuhkan perlakuan khusus. Hal tersebut dimaksudkan untuk keperluan penyajian dan pencarian metode penyelesaiannya. Salah satu bentuk penyajiannya adalah dengan menyusun item-item dalam bentuk baris dan kolom, yang biasanya disebut dengan matriks. Penggunaan matriks telah banyak dijumpai dalam kehidupan sehari-hari, disadari ataupun tidak, penggunaan matriks tersebut telah banyak dimanfaatkan dalam menyelesaikan masalah-masalah yang berhubungan dengan kehidupan, misalnya pada aplikasi perbankan dan juga di dalam dunia olahraga yang digunakan sebagai penentuan klasemen suatu pertandingan. Suatu matriks (matrix) adalah jajaran empat persegi panjang dari bilangan-bilangan. Bilangan-bilangan dalam jajaran tersebut disebut entri dari matriks.
Sehingga matriks merupakan suatu susunan yang berbentuk persegi panjang yang terdiri dari bilangan-bilangan. Baris sebuah matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang mendatar (arah horizontal) dalam matriks. Kolom sebuah matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang tegak (arah vertikal) dalam matriks.
Suatu matriks dapat ditulis dalam bentuk ( ) atau [ ]. Matriks dilambangkan dengan huruf besar, misalnya A, B, dan seterusnya. Entri pada matriks dilambangkan dengan huruf kecil dan berindeks, misalnya amnyang merupakan entri pada baris ke- m dan kolom ke- n. Bentuk umum dari matriks adalah:
 A=  
Dimana m menunjukkan baris dan n menunjukkan kolom. Ukuran matriks atau biasa disebut dengan ordo matriks menyatakan jumlah baris dan jumlah kolom yang terdapat di dalam matriks tersebut. Apabila suatu matriks memiliki jumlah baris sebanyak (m) dan jumlah kolom (n), maka disebut matriks berordo m x n. Dari definisi tentang matriks di atas, maka contoh dari matriks adalah sebagai berikut:
a. Matriks berordo 2 x 1 : A= [5  3]
Entri matriks A adalah: a11 = 5 dan a21 = 3.
b. Matriks berordo 2 x 2:  B=
Entri matriks B adalah: b11 = 1, b12 = 4, b21 = 4, dan b22 = 3.
c. Matriks berordo 3 x 3 : C =
Entri matriks C adalah: c11 = 3, c12 = 2, c13 = 5, c21 = 4, c22 = 4 , c23 = 4,c31 = 6, c32 = 8, dan c33 = 7.
2.1.2. Kesamaan Matriks
Dua matriks adalah sama (equal) jika keduanya memiliki ukuran yang sama dan entri-entri yang bersesuaian adalah sama. (Anton dan Rorres, 2004: 28)
Di dalam notasi matriks, apabila A = [aij] dan B = [bij] memiliki ukuran yang sama, maka A = B jika dan hanya jika (A)ij = (B)ij, atau aij = bij untuk semua i dan j.
Contoh:
a. A=  B=

Dua matriks di atas memiliki ukuran dan entri-entri yang bersesuaian sama, sehingga A = B
b. A =       B= [ ]
Apabila nilai x = 6, maka A = B, tetapi untuk semua nilai x yang lain, matriks A dan B adalah tidak sama karena tidak semua entri-entri yang bersesuaian adalah sama.

2.1.3. Perkalian Skalar Matriks
Jika A adalah matriks sebarang dan c adalah skalar sebarang, maka hasil kali-nya (product) cA adalah matriks yang diperoleh dari perkalian setiap entri pada matriks A pada bilangan c. Matriks cA disebut sebagai kelipatan skalar (scalar multiple) dari A. Di dalam notasi matriks, apabila A =[aij], maka (c A)ij =c (A)ij=caij
Contoh:
A = maka 4A= = =

2.1.4. Perkalian Matriks
Jika A adalah matriks m x r dan B adalah matriks r x n maka hasil kali (product) AB adalah matriks m x n yang entri-entrinya ditentukan sebagai berikut. Untuk mencari entri pada baris i dan kolom j dari AB, pisahkanlah baris i darimatriks A dan kolom j dari matriks B. Kalikan  entri-entri yang bersesuaian dari baris dan kolom tersebut dan kemudian jumlahkan hasil yang diperoleh.
Dengan kata lain, perkalian matriks dapat didefinisikan sebagai berikut:
Misalkan A = [amr] dan B = [bnr] merupakan matriks-matriks yang sedemikian rupa sehingga jumlah kolom dari A sama dengan jumlah baris dari B. Maka hasil kali AB adalah matriks m x n yang mana entri ij diperoleh dengan mengalikan baris ke-i dari A dengan kolom ke-j dari B.
  =
di mana :cij=ai1b1j+ai2b2j+....+airbrj=
Berdasarkan definisi dari perkalian matriks tersebut, maka dua matriks dapat dikalikan apabila jumlah kolom matriks pertama sama dengan jumlah baris dari matriks kedua. Sehingga dapat dituliskan sebagai berikut:
Amxr X Brxn= Cmxn
Misal A, B, dan C adalah matriks yang dapat dikalikan, maka sifat-sifat dari perkalian matriks adalah:

1.  Sifat distributif
a. A (B + C) = AB + AC
b. (A + B) C = AB + BC

2. Sifat asosiatif
A (BC) = (AB) C

3. AB BA
Perkalian matriks tidak memenuhi sifat komutatif. Pada bilangan real berlaku ab = ba. Sedangkan pada matriks, AB tidak selalu sama dengan BA. Hal tersebut dapat disebabkan pada kasus sebagai berikut:
a. Hasil dari AB dapat didefinisikan, akan tetapi hasil dari BA tidak dapat didefinisikan. Sebagai contoh, apabila A adalah matriks yang memiliki ordo 2 x 3, dan B adalah matriks yang memiliki ordo 3 x 4.
b. Hasil dari AB dan BA dapat didefinisikan, akan tetapi masing-masing entri yang bersesuaian dari matriks tersebut adalah berbeda. Sebagai contoh:
A=  B=  sehingga

AB=    =
Dari hasil tersebut, dapat disimpulkan bahwa AB BA.

4. Perkalian dengan identitas
IA = AI = A.

2.1.5. Transpos Matriks
Jika A adalah matriks m x n, maka transpos dari A (transpose of A), dinyatakan dengan AT, didefinisikan sebagai matriks n x m yang didapatkan dengan mempertukarkan baris-baris dan kolom-kolom dari A; sehingga kolompertama  dari AT adalah baris pertama dari A, kolom kedua dari AT adalah baris kedua dari A, dan seterusnya.
Dari definisi tersebut, dapat dikatakan bahwa matriks transpos adalah suatu matriks yang diperoleh dari perpindahan baris pada matriks A yang  berubahmenjadi kolom pada matriks AT, sehingga dapat dituliskan sebagai:
Am×n_ = (aij)AT= (aji)
Contoh: A=   sehingga _T=
Transpos dari sebuah hasilkali adalah hasil kali dari transpos-transposnya, tetapi dalam urutan terbalik. (Lipschutz dan Lipson, 2004: 14). Yaitu sebagai berikut:
(AB)T=B TAT
Apabila perkalian matriks A dan B memiliki sifat komutatif, maka
(AB)T=(BA)T
↔B TAT=AT BT
sehingga berlaku:
(AB)T=ATBT
(BA)T=BTAT

2.1.6. Matriks Bujursangkar
Matriks bujursangkar adalah matriks dengan jumlah baris dan kolom yang sama.  Matriks bujursangkar atau dapat juga dinamakan matriks persegi yang memiliki ordo n, biasanya disebut matriks bujursangkar-n. Entri a11, a22, a33,..., ann berada pada diagonal utama dari matriks A. Matriks bujursangkar dibedakan menjadi matriks identitas, matriks diagonal, matriks segitiga, dan matriks simetrik.
Contoh:
1.       matriks bujur sangkar berorde 2.
2.       matriks bujur sangkar dengan orde 3.

2.1.7. Matriks Segitiga
Matriks bujursangkar yang semua entri di atas diagonal utamanya adalah nol disebut matriks segitiga bawah (lower triangular) dan matriks bujursangkar yang semua entri di bawah diagonal utamanya adalah nol disebut matriks segitiga atas (upper triangular). Suatu matriks, baik segitiga bawah atau segitiga atas disebut matriks segitiga (triangular). Berdasarkan definisi tersebut, transpos dari matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga atas. Demikian juga sebaliknya, transpos dari matriks segitiga atas adalah matriks segitiga bawah.
Contoh matriks segitiga atas :
1.       matrik segitiga atas dengan orde 2.
2.       matriks segitiga dengan orde 3.
3.       matriks segitiga dengan orde 4.

Contoh matriks segitiga bawah:
1.       matriks segitiga bawah dengan orde 2
2.       matriks segitiga bawah dengan orde 3.

3.       matrikssegitiga bawah dengan orde 4.

2.1.8. Matriks Diagonal
Suatu matriks bujursangkar yang semua entrinya yang tidak terletak pada diagonal utama adalah nol disebut matriks diagonal (diagonal matrix).  Bentuk umum dari matriks diagonal A, dengan ordo n dapat ditulis sebagai:
 A=
Contoh:
1.      A=  matriks A adalah matriks diagoonal berordo 2 x 2.
2.      B=  matriks B adalah matriks diagonal berordo 3x3.
3.      C=  matriks C adalah matriks diagonal berordo 4x4.

2.1.9. Matriks Identitas
Yang menjadi perhatian khusus adalah matriks bujursangkar dengan bilangan 1 pada diagonal utamanya dan 0 pada entri-entri lainnya, seperti :
 ,  ,  dan seterusnya.
Matriks dengan bentuk seperti ini disebut matriks identitas (identity matrix) dan dinyatakan dengan I. Jika ukurannya penting maka akan ditulis sebagai In untuk matriks identitas n x n. Di dalam perkalian matriks, operasi dengan identitas mempunyai sifat
AI = IA = A
Sebagai contoh:
A=  I=  maka
AI=    =
IA =    =

2.1.10. Matriks Singular dan Non Singular
Matriks singular adalah matriks bujur sangkar yang tidak mempunyai invers (berarti determinannya = 0). Sedangkan matriks non singular adalah matriks bujur sangkar yang mempunyai invers (berarti determinannya 0). Contoh dari matriks singular adalah:
1.      A=  , A adalah matriks singular berordo 2 karena A-1=
2.      B=  , B adalah matriks singular berordo 3 karena B-1=
Contoh matiks non singular
1.      A=
2.      B=

2.1.11. Determinan
Permutasi dari himpunan bilangan bulat atau integer {1, 2, ..., n} adalah susunan integer-integer ini menurut suatu aturan tanpa adanya penghilangan atau pengulangan. Sebagai contoh, pada himpunan bilangan bulat {1, 2, 3} memiliki 6 permutasi. Antara lain (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), dan (3, 2, 1). Inversi dapat terjadi di dalam suatu permutasi apabila bilangan bulat yang lebih besar mendahului yang lebih kecil. Misalnya di dalam permutasi (2, 4, 1, 3), maka
banyaknya inversi adalah 1 + 2 + 0 = 3. Suatu permutasi dikatakan genap (even) jika total banyaknya inversi adalah integer genap dan dikatakan ganjil (odd) jika total banyaknya inversi adalah integer ganjil.
Hasilkali elementer dari suatu matriks bujursangkar dengan orde n merupakan hasilkali dari n entri dari matriks tersebut, yang tidak satu pun berasaldari baris atau kolom yang sama. Apabila A merupakan matriks bujursangkardengan orde n, maka matriks A memiliki hasilkali elementer sebanyak n!. Bentuk dari hasilkali elementer tersebut adalah a1j1, a2j2, .....anjn dimana (j1,j2,...jn) adalah permutasi dari himpunan {1, 2, ..., n}. Sedangkan hasilkali elementer bertanda dari A adalah dari hasilkali elementer tersebut adalah a1j1, a2j2, .....anjn dikalikan dengan + 1 untuk permutasi genap dan – 1 untuk permutasi ganjil.
Misalkan A adalah suatu matriks bujursangkar. Fungsi determinan (determinant function) dinotasikan dengan det dan kita mendefinisikan det(A) sebagai jumlah dari semua hasilkali elementer bertanda dari A. Angka det(A) disebut determinan dari A (determinant of A).
Misalkan A =  maka determinan dari A adalah a11a22-a12a21
Sedangkan  untuk B =  maka determinan dari B adalah (a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32)-(a12a21a33+a11a23a32+a13a22a31)

2.1.12. Invers Matriks ordo 2
Diberikan matriks bujursangkar A. Jika terdapat matriks bujursangkar A-1yang memenuhi hubungan
A-1.A=A.A-1=I
Maka A-1 disebut invers kebalikan dari A. Jika A adalah matriks bujursangkar, dan jika terdapat matriks B yang ukurannya sama sedemikian rupa sehingga AB = BA = I, maka A disebut dapat dibalik (invertible) dan B disebut sebagai invers (inverse) dari A. Jika matriks B tidak dapat didefinisikan, maka A dinyatakan sebagai matriks singular. Sebelum menentukan invers, maka harus dicari terlebih dahulu nilai determinan dari matriks tersebut. Misalkan A merupakan matriks yang mempunyai ordo 2. Determinan dari matriks A adalah selisih antara perkalian entri-entri pada diagonal utama dengan perkalian entri-entri pada diagonal sekunder. Determinan dari matriks A dinotasikan dengan det A atau |A|. Sedangkan nilai dari determinan suatu matriks adalah bilangan real.
Misalkan A=
Sehingga det A=│A│= =ad-bc
Dari definisi tentang invers matriks, maka selanjutnya dapat ditentukan rumus dari invers matriks yang berordo 2.
Misalkan A=  dan B=
Karena AB = I, maka B = A-1.
   =
   =
Berdasarkan kesamaan dua matriks, diperoleh:
ap +  br= 1 ....(1) aq + bs = 0 ....(3)
cp +  dr= 0 ....(2) cq  + ds= 1 ....(4)
Dengan menyelesaikan sistem persamaan linear tersebut, maka diperoleh:
p =     q =   r =   s =
dengan demikian
B=A-1 = = =  
Jadi, B = A-1 =    dengan  ≠ 0.
Karena  det A, maka A-1 =   .
Eliminasi Gaus- Jordan
Salah satu metode untuk memperoleh solusi penyelesaian sistem perssamaan linear adalah dengn melakukan operasi baris elementer yaitu dengan metode eliminasi Gaus – Jordan. Caranya yaitu :
1.      Kalikanlah suatu persamaan (baris) dengan konstanta tak nol.
2.      Tukarkanlah dua persamaan (baris).
3.      Tambahkanlah kelipatan satu persamaan(baris) dengan persamaan(baris) lain.
Contoh:
Carilah nilai-nilai variabel X, Y, Z untuk sistem persamaan berikut :
X+2Y+3Z=1
2X+5Y+3Z=6
X+8Z=-6
Persamaan tersebu dapat ditulis dalam bentuk matriks sbb:
   =
Matriks diperbesar (A:b) yaitu x=b1, y=b2, z =b3

 
     
Maka didapat X=2, Y=1 dan Z=-1